חקירת מנה עם פרמטר 1חקירת פונקציות 571 · שיעור 63

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 63: חקירת מנה עם פרמטר 1

פונקציית מנה עם פרמטר

1🔷 סעיפים א–ב

2🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8)

3🟢 סעיף ד: סקיצה

4🟣 סעיף ה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה:

f(x) = m − 4x(x − 1)²

m הוא פרמטר.

לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 3 .

א.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב.מצא את ערך הפרמטר m .

ג.הצב m = 8 , וענה על הסעיפים הבאים:

(1)מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.

(2)מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(3)מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.

ד.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ה.היעזר בגרף שסרטטת, ומצא עבור אילו ערכי x מתקיים f(x) > 0 וגם f'(x) > 0 .

🔷 סעיפים א–ב

סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

המכנה שונה מ־0: (x − 1)² ≠ 0

✅ x ≠ 1

🔷 סעיפים א–ב

סעיף ב: מצא את ערך הפרמטר m

בנקודת קיצון f'(x) = 0 . גוזרים בנגזרת מנה, מכפילים במכנה ומציבים x = 3 :

−4(3 − 1)²

− (m − 12)(2·3 − 2) = 0

−16 − 4m + 48 = 0

32 = 4m

✅ m = 8

🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8)

מציבים m = 8 : f(x) = 8 − 4x(x − 1)²
סעיף ג(1): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים

אנכית: הערך שמאפס את המכנה (ההפך מתחום ההגדרה) ← x = 1

אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה 1, ובמכנה 2. החזקה במכנה גדולה יותר ← y = 0 (ציר x)

✅ x = 1 , y = 0

🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8)

סעיף ג(2): מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים

עם ציר y ( x = 0 ):

f(0) = 8 − 0(0 − 1)² = 8

עם ציר x ( y = 0 ): שבר שווה 0 כשהמונה 0:

8 − 4x = 0

4x = 8

x = 2

✅ נקודות החיתוך: (0 , 8) , (2 , 0)

🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8)

סעיף ג(3): מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן

פותחים את המכנה: (x − 1)² = x² − 2x + 1 , וגוזרים:

נגזרת המונה כפול המכנה:

−4(x² − 2x + 1)

פחות נגזרת המכנה כפול המונה:

(2x − 2)(8 − 4x)

וכל זה חלקי המכנה בריבוע

משווים ל־0, מכפילים במכנה ופותחים סוגריים:

−4x² + 8x − 4

− (24x − 8x² − 16) = 0

4x² − 16x + 12 = 0 / :4

🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8) · המשך

4x² − 16x + 12 = 0 / :4

x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1 ← לא בתחום ההגדרה!

x = 3 ← נקודה חשודה לקיצון

f(3) = 8 − 12(3 − 1)² = −44 = −1

בטבלה שמים את האסימפטוטה 1 ואת 3 , ומציבים ב־x² − 4x + 3 :

x = 0 ← 3 > 0 עולה

x = 2 ← −1 < 0 יורדת

x = 4 ← 3 > 0 עולה

🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8) · המשך

x = 4 ← 3 > 0 עולה

✅

(3 , −1) מינימום

עולה: x < 1 , x > 3

יורדת: 1 < x < 3

🟢 סעיף ד: סקיצה

סעיף ד: סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

מסמנים את האסימפטוטות: x = 1 (מקווקו) וציר x ( y = 0 )

מסמנים (0 , 8) , (2 , 0) ואת המינימום (3 , −1)

מימין ל־1: הגרף יורד מלמעלה ליד האסימפטוטה, חותך ב־(2 , 0) , מגיע למינימום ואז עולה ונצמד לציר x מלמטה

משמאל ל־1: הגרף עולה, נצמד לציר x משמאל, עובר ב־(0 , 8) ועולה ליד האסימפטוטה

🟣 סעיף ה

סעיף ה: היעזר בגרף שסרטטת, ומצא עבור אילו ערכי x מתקיים f(x) > 0 וגם f'(x) > 0

f(x) > 0 : הגרף מעל ציר x ← x < 1 וגם 1 < x < 2

f'(x) > 0 : הפונקציה עולה ← x < 1 וגם x > 3

צריך ששני התנאים יתקיימו יחד. בין 1 ל־2 הגרף מעל ציר x אבל יורד, אז זה לא מתאים

✅ x < 1

📌 לזכור

💡 כשהנגזרת מתאפסת בנקודה שלא בתחום ההגדרה (כמו x = 1 כאן), פוסלים אותה. ו־f'(x) > 0 פירושו פשוט: איפה הפונקציה עולה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא